Jakim gwoździem należałoby zamontować budkę lęgową na ptaki do żywego drzewa? Chodzi o to, aby nie uszkodzić też drzewa.

Takimi które nie będą korodowały w perspektywie czasu. Powinny być to gwoździe ocynkowane, o długości takiej, aby były w stanie utrzymać budkę lęgową nawet w sytuacji w której będzie dochodziło do przyrostu drzewa. Najlepiej w związku z tym zastosować dwa gwoździe ocynkowane, jeden dobity do końca a drugi do połowy.
Specyfikację gwoździ znajdziesz np tutaj: https://www.metalurgia.pl/gwozdzie/gwozdzie-stalowe